4. 2차 방정식

일차 방정식

$ax+b=0$에 대해

$a \neq 0$,  $b \neq 0 $일 때, $x= -\frac{b}{a} $

$a \neq 0$,  $b =0 $일 때, $x=0$

$a =0 $,  $b \neq 0 $일 때, 해가 없다.

$a =0 $,  $b =0 $일 때, 해는 모든 수.

이차 방정식

$ax^2+bx+c=0$

$x^2+ \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} =0 $

$x^2+ 2 \frac{b}{2a} x+ ( \frac{b}{2a} )^2 - ( \frac{b}{2a} )^2 + \frac{c}{a} =0 $

$x^2+ 2 \frac{b}{2a} x+ ( \frac{b}{2a} )^2 =  ( \frac{b}{2a} )^2 - \frac{c}{a} $

$(x+ \frac{b}{2a})^2 =  ( \frac{b}{2a} )^2 - \frac{c}{a} $

$x+ \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{  ( \frac{b}{2a} )^2 - \frac{c}{a} } $

$x= - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{  ( \frac{b}{2a} )^2 - \frac{c}{a} } = \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{ 2a }$

$x= \frac{ -b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{ 2a } $에서 $ b^2 - 4ac $를 판별식이라고 한다.

$ b^2 - 4ac > 0 $일 때 $ax^2+bx+c=0$은 서로 다른 두 실근을 갖는다

$ b^2 - 4ac = 0 $일 때 $ax^2+bx+c=0$은 서로 같은 두 실근을 갖는다

$ b^2 - 4ac < 0 $일 때 $ax^2+bx+c=0$은 서로 다른 두 허근을 갖는다

일반적으로 n차 방정식을 풀 때

$x$에 대한 일차식들의 곱으로 인수분해하도록 하자.

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+......+a_2x^2+a_1x+a_0$

$=a(x- \alpha_n)(x- \alpha_{n-1} )...(x- \alpha_2)(x- \alpha_1)=0 $

2차 함수의 형태

$y=ax^2+bx+c$ : $x$에 대해 내림차순으로 정리. 다른 차수 방정식과 비교하기 쉽다.

$y=a(x- \alpha)(x- \beta )=0 $ : $a(x- \alpha)(x- \beta )=0 $의 두 근을 확인하기 쉽다.

$y=a(x-P)^2+Q$ : 포물선 $y=a(x-P)^2+Q$의 꼭지점의 위치를 확인하기 쉽다.

위의 처음 두 형태를 비교해 보면

$ \alpha + \beta = - \frac{b}{a}, \quad \alpha \beta = \frac{c}{a} $

임을 알 수 있다.

공부를 할 때는 굳이 문제에서 요구하지 않더라도 $b^2-4ac, \; \alpha + \beta, \; \alpha \beta $를 살피고, 함수를 여러 가지 형태로 바꿔 보는 등 가용한 모든 수단을 동원해서 함수의 모습을 자세히 밝혀내야 한다. 그러면서 함수를 다루는 실력이 늘어난다.

2차 함수는 포물선, 1차 함수는 직선이다.

포물선과 직선의 관계는 두 식을 연립하여 알아 볼 수 있다.

$ \begin{cases} y=ax^2+bx+c \newline y=mx+n \end{cases} $

$ ax^2+bx+c=mx+n $

$D>0 $ 두 점에서 만난다

$D=0 $ 한 점에서 만난다= 한 점에서 접한다

$D<0 $ 만나지 않는다